11月2日(月)の一問

二等辺三角形の面積は三平方で高さを出す！

中学生数学普通三平方の定理

問題

$A B = A C = 13 cm$ 、 $B C = 10 cm$ の二等辺三角形 $A B C$ の面積を求めなさい。

$A B = A C = 13 cm$ 、 $B C = 10 cm$ の二等辺三角形の面積を求める問題です。面積を出すには高さが必要ですが、問題文には高さが書かれていません。そこで、頂点 $A$ から底辺に垂線を下ろし、三平方の定理で高さを求めるのがポイントです。

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$60 cm^{2}$

答えは60平方センチメートル。

二等辺三角形の頂点 $A$ から底辺 $B C$ に下ろした垂線の足 $H$ は、 $B C$ の真ん中になります。そのため、 $B H = 10 \div 2 = 5 cm$ です。
垂線を引くと直角三角形 $A B H$ ができます。斜辺は $A B = 13 cm$ なので、三平方の定理より $A H^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}$ が成り立ちます。
$A H^{2} = 169 - 25 = 144$ となり、 $A H > 0$ なので $A H = 12 cm$ です。
面積は $\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$ より、 $60 cm^{2}$ です。

$B H$ を $10 cm$ のまま使ってしまう間違いです。垂線の足 $H$ は底辺の真ん中なので、直角三角形 $A B H$ の底辺は半分の $5 cm$ になります。
斜辺を取り違えて $A H^{2} = 1 3^{2} + 5^{2}$ と足してしまう間違いです。直角の向かい側にある $A B$ が斜辺なので、 $1 3^{2}$ から $5^{2}$ を引きます。
面積の計算で $\frac{1}{2}$ をかけ忘れて $120 cm^{2}$ としてしまう間違いです。三角形の面積の公式を必ず確認しましょう。

$A B = A C = 10 cm$ 、 $B C = 12 cm$ の二等辺三角形 $A B C$ の面積を求めなさい。

ヒント: 頂点 $A$ から $B C$ に垂線 $A H$ を下ろすと $B H = 6 cm$ になるので、直角三角形 $A B H$ で三平方の定理を使いましょう。

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$A H^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64$ より $A H = 8 cm$ 。面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ で、 $48 cm^{2}$

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